数学课堂应留给学生更多的思维空间
岳阳市第十二中学 任向阳
在相似形一章学完以后，笔者设置了四道复习题，其中第二题是这样的：
问题：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P为AD上一点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，若AB=6，AD=8，求PE+PF的值。
提出问题之后，笔者根据题目的设计意图，先引导学生将两求和线段放置于两组相似三角形中，得出两个比例式，然后运用等式性质将比例式相加，把要求的问题凑到一个等式中来，再用方程求解。分析题意后，学生讨论了几分钟，然后小结解题过程如下：
一解：∵∠AEP=∠ADC=90°,∠PAE=∠CAD
∴⊿APE∽⊿ACD
∴ ①
同理⊿DPF∽⊿DBC
∴ ②
∵AB=CD
∴①+②，得：
∴
即PE+PF=
问题似乎是很圆满的解决了。教者习惯性的问了一句：还有什么疑问吗？这时，一位学生马上举手说：PE、PF可不可以看成是两个三角形的高，用面积和来把PE、PF加到一块来呢？学生的一问是我没料想到的，我马上停了下来，立即肯定了他的想法：由垂直想到三角形的高再想到用面积变换来求两条高的和。学生眼前一亮，纷纷拿起笔，再次计算起来，又过了几分钟后，我要学生把解题过程对比板书到了黑板上：
二解：连结PO，
∵AO=DO= AC=5
∴S⊿AOP= AO·PE= ×5·PE
S⊿DOP= DO·PF= ×5·PF
∴S⊿AOP+ S⊿DOP= （PE+PF）
又∵S⊿AOP+ S⊿DOP= S⊿AOD= S矩形ABCD=12
∴ （PE+PF）=12
∴PE+PF=
上述解题方法完全与教学目标无关，但激发了学生的极大学习热情和兴趣，我临时改变了教学内容，让学生就两种方法展开了充分的讨论和小结。在大多数同学都获得学习的成就感时，我没有让这种高涨的学习热情停下来，接着问：大家还能有什么新的方法和发现吗？这一问让教室又静下来了，还能有什么新的方法呢？同学们有的低头沉思，有的拿笔在划。我站在讲台边上停了两分钟，在等着，终于，听到前排有同学小声地在讨论：点P既然是动点，改变它的位置，所求的结论是否会改变呢？我马上将那位同学喊起来，让他谈谈自己的看法，原来，他打算将点P移到A点，这样，两条垂线段之和变成了一条，就是Rt⊿ABD的高！听完他的讲述后，我对他大加赞赏的说：真不错，太有才了！同学们也纷纷投来了羡慕的目光，是啊，大家仿佛都看到了他思维的灵气。于是组织大家第三次解题：
解三：过点A作AH⊥BD，此时AH=PE+PF
在Rt⊿ABD中，
S⊿ABD= AD·AB= BD·AH=24
∴ BD·AH=24
∴AH=
即PE+PF=
大家做完题了，我让同学们选择,哪种方法最喜欢呢?第三种解题方式简单，大多数同学选了第三种,我故意问到:将点P移到A后,能够说明一定有AH=PE+PF吗?大家一下子呆住了,有的同学说:当然是成立的啦,结果不都一样吗?此时,我及时指出数学命题的严谨和完备.我们追求简单，是在准确的基础上再简单。当点P移到A时，只不过是第二种方法的一个特殊形式，它把两个三角形的和变成了一个三角形了！猜测和推理还行，完整的解题表达还得按第一、二种方法来写啊。大家都还意犹未尽时，下课的铃声也响了，我准备的另两道题没能来得及讲。
这是一堂未完成的课，但通过这堂课，我有很多的思索，数学是思维的体操，学生灵动的个性思维在课堂教学中应怎样才能得到发展和提高呢？首先要给学生足够的思考的空间，宁愿留空让学生去想，去猜测，也不能大包大揽，一味的总结和归纳。一堂数学课就好似一幅写意山水画，要有足够的灰白，让人瑕想。不能为了教学而教学，为了完成教学的任务和课堂结构的完整而教学。其次也应有足够的时间让学生去想，让思维有个过程才行。最后就是要多倡导鼓励学生去多想，让他们有思维的愿望和获得知识的成就感。虽然是一堂不完整的课，但愿这样的课堂里，学生的个性思维能得到更宽更广的发展。
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